如何理解遗传组效应

什么情况下需要考虑遗传组效应（Genetic group）

当数据集中的个体来源不同时，在遗传评估模型中需要考虑遗传组。当个体的亲本信息未知时，通常会假定亲本来自于同质群体（homogeneous population），具有相同的期望均值，利用混合模型估计育种值。亲本信息未知的个体，通常称为“基础个体”，奠基者个体更为合适？对于这些奠基者个体，如果它们不是来自于一个同质群体，为了区分不同奠基者个体的遗传水平，需要考虑遗传组效应。 需要注意的一点是，对于一个基础群体，亲缘关系矩阵已经考虑了所有由选择产生的遗传差异。举例说明：从一个基础群体开始分别建立高低两个选育系，如果系谱和性能测定数据完成，那么在遗传评估中，我们是不需要考虑遗传组效应的。如果利用系谱和性能测定数据，仍然剖分个体间的遗传差异，那么需要在分析中考虑遗传组效应。如果个体来自于不同的品种，是一个需要考虑的问题。

作者给出了两个绵羊品种，Finnsheep和Merinos。其中Finnsheep品种的每窝产仔数均值可以达到3，而Merinos品种的每窝产仔数最多为1。由于每窝产仔数是一个低遗传力性状，如果在遗传评估中忽略品种的效应，那么会使所有个体的EBV趋向于均值（0）。但实际情况不应该是这样的，每窝产仔数的品种效应应该是很强的，而且是可信的。

一开始并没有很好的理解上述说法。原来脑海中的印象是，如果不考虑遗传组，难么家系或者个体间的遗传差异会变大，那么遗传参数估计值，如遗传力会偏高。作者举例的意思是说，由于遗传力很低，那么个体的育种值也会很小，但是实际上个体的育种值应该包括品种效应，应该会更大才对。那么可以推测，对于高遗传力性状，遗传组对育种值的影响会比较小，但是可能会对遗传力等估计值产生较大的影响。

一个比较简单的方法，可以把个体的来源作为固定效应，其关联矩阵X写法

个体类型	Finnsheep (F)	Merinos (M)
Finnsheep (F)	1	0
Merinos (M)	0	1
F×M	0.5	0.5
M×(F×M)	0.25	0.75

注意，其中的0.25表示Finnsheep只占$\frac{1}{4}$，0.75表示Merinos占$\frac{3}{4}$。

带有遗传组的加性遗传模型

当奠基者个体来自不同的群体时，把来源群体作为固定效应是可以的。但是，当来源群体本身是一个杂交群体时（2个或者多个群体杂交），作为固定效应很难分析。Quass（1988）提出了群体内加性遗传相关的基本结构，给出了把遗传组作为随机效应的分析模型。

传统模型 $$y=Xb+Zu+e$$

修改后的模型 $$y=Xb+ZQg+Za+e$$ 其中g表示固定的组效应，a表示遗传组内随机个体加性遗传效应。矩阵Q指的是个体与组的关联矩阵，而ZQ实际上把性状测定值与组进行关联。

估计的育种值等于：
$$\hat{u}=Q\hat{g}+\hat{a}$$

实际上在模型中g是一个固定效应，模型方程可以写为：

$$\left[\begin{array}{ccc}{X}^{{}^{\prime }}X& X^{{}^{\prime }}ZQ& X^{{}^{\prime }}Z\\ Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}X& Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}ZQ& Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}Z\\ Z^{{}^{\prime }}X& Z^{{}^{\prime }}ZQ& Z^{{}^{\prime }}Z+\alpha A^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ g\\ a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}^{{}^{\prime }}y\\ Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}y\\ Z^{{}^{\prime }}y\end{array}\right]$$

上述方程左边部分看似复杂，实际上这样记忆，比较简单：

	X	ZQ	Z
$X^{{}^{\prime }}$	$X^{{}^{\prime }}X$	$X^{{}^{\prime }}ZQ$	$X^{{}^{\prime }}Z$
$Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}$	$Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}X$	$Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}ZQ$	$Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}Z$
$Z^{{}^{\prime }}$	$Z^{{}^{\prime }}X$	$Z^{{}^{\prime }}ZQ$	$Z^{{}^{\prime }}Z+\alpha A^{-1}$

对角线上是自己跟自己，非对角线是互相结合在一起。之所以行是转置矩阵，也是很好理解的。

举一个例子，如果有10条测定记录，b如果有3个固定效应，那么b是3×1列向量，那么$X^{{}^{\prime }}Xb$要想可以相乘，$X^{{}^{\prime }}X$必须要是3列。而我们知道，设计矩阵X是10×3列，$X^{{}^{\prime }}X$正好是一个3×10×10×3=3×3列矩阵，反过来是10×10矩阵，是不可以的，其他相同原理。

上述方程中，难题可能是在于如何建立Q矩阵？（In practice such equation would cause problems, unless a systematic way is found to create the Q matrix，这句话不是很理解！）

Quaas对上述方程进行了变换，从左边统一乘以下述矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}I& 0& 0\\ 0& I& -Q^{{}^{\prime }}\\ 0& 0& I\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{ccc}I& 0& 0\\ 0& I& -Q^{{}^{\prime }}\\ 0& 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{X}^{{}^{\prime }}X& X^{{}^{\prime }}ZQ& X^{{}^{\prime }}Z\\ Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}X& Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}ZQ& Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}Z\\ Z^{{}^{\prime }}X& Z^{{}^{\prime }}ZQ& Z^{{}^{\prime }}Z+\alpha A^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ g\\ a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}I& 0& 0\\ 0& I& -Q^{{}^{\prime }}\\ 0& 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}^{{}^{\prime }}y\\ Q^{{}^{\prime }}{Z}^{{}^{\prime }}y\\ Z^{{}^{\prime }}y\end{array}\right]$$

方程会变化为：

$$\left[\begin{array}{ccc}{X}^{{}^{\prime }}X& X^{{}^{\prime }}ZQ& X^{{}^{\prime }}Z\\ 0& 0& -\alpha Q^{{}^{\prime }}{A}^{-1}\\ Z^{{}^{\prime }}X& Z^{{}^{\prime }}ZQ& Z^{{}^{\prime }}Z+\alpha A^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ g\\ a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}^{{}^{\prime }}y\\ 0\\ Z^{{}^{\prime }}y\end{array}\right]$$

对上述方程组继续进行变换：

$$\left[\begin{array}{ccc}{X}^{{}^{\prime }}X& X^{{}^{\prime }}ZQ& X^{{}^{\prime }}Z\\ 0& 0& -\alpha Q^{{}^{\prime }}{A}^{-1}\\ Z^{{}^{\prime }}X& Z^{{}^{\prime }}ZQ& Z^{{}^{\prime }}Z+\alpha A^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}I& 0& 0\\ 0& I& 0\\ 0& -Q& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}I& 0& 0\\ 0& I& 0\\ 0& Q& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ g\\ a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}^{{}^{\prime }}y\\ 0\\ Z^{{}^{\prime }}y\end{array}\right]$$

上式中： $$\left[\begin{array}{ccc}I& 0& 0\\ 0& I& 0\\ 0& -Q& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}I& 0& 0\\ 0& I& 0\\ 0& Q& I\end{array}\right]=I$$

互为逆矩阵，乘积为单位矩阵。

方程组左手边，前两个矩阵相乘后两个矩阵相乘，得到新的方程组：

$$\left[\begin{array}{ccc}{X}^{{}^{\prime }}X& 0& X^{{}^{\prime }}Z\\ 0& \alpha Q^{{}^{\prime }}{A}^{-1}Q& -\alpha Q^{{}^{\prime }}{A}^{-1}\\ Z^{{}^{\prime }}X& -\alpha A^{-1}Q& Z^{{}^{\prime }}Z+\alpha A^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ g\\ u=Qg+a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{X}^{{}^{\prime }}y\\ 0\\ Z^{{}^{\prime }}y\end{array}\right]$$

关于新的方程组，作者的评价说实话，一点都没看懂。

第一个优点，作者讲的是对于固定效应，组的两个非对角线元素（第2,1或者1,2）都是零；而且右手边，组元素（2,1）也是零；意思应该是说计算更加简单。

第二个优点：组内个体的解，直接包括的组效应（u=Qg+a）。作者讲，这是在求解混合模型方程时，是一个重要的优势。

然而作者认为最重要的是建立了一种定义遗传组的灵活形式。作者认为组方程跟不带有数据的个体方程十分类似。个人理解，组方程指的应该是这样一个方程：

$$\alpha Q^{{}^{\prime }}{A}^{-1}Qg-\alpha Q^{{}^{\prime }}{A}^{-1}u=0$$

个体动物方程：

$$Z^{{}^{\prime }}Xb-\alpha A^{-1}Qg+(Z^{{}^{\prime }}Z+\alpha A^{-1})u=Z^{{}^{\prime }}y$$

没有看出二者明显的相似性来。作者认为，遗传组就像祖先个体一样，定义个体跟遗传组的亲缘矩阵（Q矩阵）。

##分配个体到遗传组（Assigning animals to genetic groups

可以根据基础个体的品种、出生年份来定义组。需要明确的一个问题，是如何定义组的关联矩阵，个体的观测值如何与组关联。

作者举了个例子：

个体的祖先可能来自不同的品种，而且在不同年份出生。那么根据系谱可以推算出，各组对个体的遗传贡献，来定义关联矩阵：1998年出生的品种1占0.25、2002年出生的品种2占0.25、2004年出生的品种2占0.5。个体中每个组的贡献，实际上与它的遗传贡献是密切相关的。Quass定义了一种方法，可以根据个体与组的关系，推导出它的后代与这些组的关系。

基础个体，原则上我们是不知道他们的系谱的，因此必须要根据起源，把他们分派到不同的遗传组。根据Quass的方法，不是把基础群体直接分配到组，而是把它们分配给虚拟亲本个体（dummy parents），虚拟个体直接分为不同的组，作者也称这些个体为幽灵个体（phantom parents）。例如，一头普通的奶牛可以分配给一头幽灵公牛。幽灵公牛可以划分为1985-1990年出生的公牛组。幽灵母牛可以分配给1992年母牛组。分配幽灵亲本到一个遗传组，后代通过系谱连接到遗传组。事实上，我们可以处理幽灵亲本作为系谱的正常部分（例如Henderson系数规则）。这创建了一个非常灵活的框架，用来分配个体到遗传组。

新的育种值估计模型为：

$$\left[\begin{array}{c}{u}_b\\ u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ P_b& P\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_b\\ u\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{u}_b\\ w\end{array}\right]$$

其中$P_b$指的是个体到幽灵亲本的亲缘矩阵，P指的是个体到非幽灵个体亲缘矩阵，看Quass1988年文章，这里指的是直接到双亲的亲缘关系，每一行只有两个数（0.5）。

未知幽灵亲本的期望均值公式为：

$$E\left(u_b\right)=Q_{b}g$$

其中$Q_b$是基础个体到遗传组的关联矩阵，g是遗传组效应。

已知个体的育种值向量u，根据上述方程，可以表述为：

$$u=P_b{u}_b+Pu+wu-Pu=P_b{u}_b+w(I-P)u=P_b{u}_b+w(I-P{)}^{-1}(I-P)u=(I-P{)}^{-1}{P}_b{u}_b+(I-P{)}^{-1}wu=(I-P{)}^{-1}{P}_b{u}_b+(I-P{)}^{-1}wE(u)=(I-P{)}^{-1}{P}_{b}E\left(u_b\right)+(I-P{)}^{-1}E(w\left)E\right(u)=(I-P{)}^{-1}{P}_b{Q}_{b}g=Qg$$

其中Q是所有已知个体到遗传组的关联矩阵。猜想，这里遗传组应该就是用幽灵个体代替？作者举例如下：

譬如有个体数量为n，遗传组数量为p的数据集，那么Q矩阵是n×p矩阵。Q中的第$(i,j{)}^{th}$个元素表示第$i^{th}$个体基因来自第$j^{th}$个遗传组的百分比。因此，遗传组与祖先个体非常相似。仅仅直接的遗传联系（亲子？）会被考虑，其他遗传联系会自动被implied？仅仅那些有1个或者2个亲本未知的个体，需要指定其遗传组。丢失的亲本会自动被分组。

建立组方程的规则总结为：

• 为基础个体分配幽灵（虚拟）个体
• 定义幽灵个体属于哪个遗传组
• 利用系谱（包括幽灵个体）建立混合模型方程组。对于第$i^{th}$个体，对其孟德尔抽样方差求逆：$b_i=4/(2+分配到遗传组的亲本数)$；然后把$b_i$增加到$A^{-1}$，具体方法为：把$-b_i/2$加到$A^{-1}$矩阵的(i,s), (i,d), (s,i) 和 (d,i)位置元素上，把$-b_i/4$加到$A^{-1}$矩阵的(s,s), (s,d), (d,s) 和 (d,d)位置元素上。

当两个亲本已知时，$b_i=2$，表示个体跟遗传组没有联系。因此增加的系数分别是2，-1和1/2，与NRm分子亲缘关系矩阵的逆矩阵系数相一致（2个亲本已知）。如果一个亲本已知，那么$b_i=4/3$，因此增加的系数分别是4/3，-2/3和1/3，与NRm分子亲缘关系矩阵的逆矩阵系数相一致（1个亲本已知）。如果没有亲本是已知的，表示两个亲本都需要分配到组，那么$b_i=1$,因此增加的系数分别是1，-1/2和1/4。

逻辑解释：如果双亲已知，那么育种值方差的一半（父母本各一半育种值，从方差角度，就是1/4+1/4=1/2）是可以被解释的，剩余的1/2，转换为倒数，就是${\frac{1}{2}}^{-1}=2$，加到A矩阵的逆矩阵相应系数上。

到此为止，没怎么看明白。